Download Rekursive Funktionen und ihre Komplexität by Claus Peter Schnorr PDF

By Claus Peter Schnorr

Dieses Buch entstand aus Vorlesungen, die ich in den lahren 1970 bis 1973 an den Universitiiten Saarbriicken, Erlangen-Niirnberg und Frankfurt gehalten habe. Das Ziel des Buches ist es, die Grundlagen der Berechenbarkeit und des Rechen aufWandes auf der foundation abstrakter Maschinenmodelle aufzubauen, wobei beim Be griff Maschine stets eine sequentielle Arbeitsweise vorausgesetzt wird. Die Theorie der rekursiven Funktionen wird mittels Begriffsbildungen der Informatik wie seasoned gramm, Maschine und Simulation entwickelt; dieser Aufbau wird jedoch hinreichend breit angelegt und nicht nur an ein spezielles Maschinenmodell wie z. B. die Turing maschine gekniipft. Die systematische Entwicklung der Begriffe Simulation und GOdelisierung gestattet es, die Aquivalenzbeweise ftir die Klassen der turingberechen baren, registerberechenbaren und rekursiven Funktionen detailliert und, wie ich glaube, in iibersichtlicher shape darzustellen. Bei der Stoffauswahl habe ich nur solche Gebiete beriicksichtigt, die heute in ihren Grundziigen bereits voll entwickelt sind und in systematischer shape dargestellt werden konnen. Aus diesem Grund habe ich auf die fUr die Informatik besonders interessanten Fragen des Berechnungsaufwandes bei konkreten Problemen verzichtet. Dieses Gebiet, das ebenso wie die Theorie der Berechnungen iiber endliche Bereiche in einer stiirmischen Entwicklung begriffen ist, habe ich zukiinftigen Darstellungen iiberlassen.

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H) = {xENn I 3 mEN: h(xl"'" xn_1' m) = x n }. h(x l ,···, x n)· Die Minimisierung auf 0 erkliirt man durch Ilo h = A XI' ... h) (XI' ... , xn _ I ' 0)]. 0 h: Nn-I --+ N. 5 (S i m ul t an e (bzw. mehrstellige) p r i mi t i v eRe k u r s ion). Es seien f: Nn --+ Nk, h : Nn +k+ I --+ Nk totale Funktionen .. Dann wird g : Nn + I --+ Nk erkliirt durch 'It x E Nn : g(x, 0) = f(x), 'It x ENn : 'It mEN: g(x, m + 1) = hex, m, g(x, m». 42 3. Rekursive Funktionen g heiBt durch simultane primitive Rekursion aus h und f erzeugt, B e z e i c h nun g g = Pr(f, h).

Tl ---+ stop ,~~a ~-2 ,~ , ~-I " stop ~ stop stop Erniedrigen einer r-niiren Zahl urn eins. - ~ I ---+ R E ---+ L ---+ to --;----* L ----+ to J8 nein' ~ -:---+ F )8 . I J8 dr _ 1 S ---+ R ---+ to ----+ , nein LI---+W Damit kann man ein geeignetes Diagramm DI wie folgt schreiben: W ---+ Dl -+:= -+ Sub -+ LI -+ d l ---+ RE a I ~ stop • Turingmaschinen tiber dem Alphabet X kann man dazu benutzen, urn partielle Wortfunktionen f: X* -* X* zu berechnen. Hierzu ersetzt man in XTMi die Einund Ausgabefunktion 8 1 und {31 durch die folgenden Funktionen 8 und (3: 8(x) = ~o 1x o~ {3(f)=x (x EX*), (fE~)( 1x 0)(00 mit x E X*).

Gk E [F]r' und den Funktionen f 1, ... , fk+ 1 E [F]~(k E N+, m, n EN) ist die foigende Funktion f Element von [F]~. f(x) = [ if GY(x) then f1 (x) else if ~(x) then f 2 (x) else ... if ~(x) then fk(x) else f k + 1 (x) Beweis. egen sg(n) = 1 .!. n; sg E [F] wegen sg(n) = 1 .!. sg (n). 44 3. Rekursive Funktionen 1. , [g(x) *- 0] = [sg g(x) og2)0, gyl\g~=(gl 2. Es gilt *- 0] gyvg~=(gl +g2)0. >E ReI [F] wegen [a > b] ~ [~(a, b) *- 0] < E ReI [F] wegen [a

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