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By Daniel Grieser

Standen Sie schon einmal vor einem mathematischen challenge oder einer kniffeligen Knobelaufgabe und hatten keine Idee für einen Lösungsansatz? Ist Kreativität erlernbar? Dieses Buch vermittelt Ihnen systematisch Problemlösestrategien, die Grundlagen der Logik und die wichtigsten Beweistechniken. Der Autor bearbeitet Schritt für Schritt ausgewählte Probleme, die mit dem Schulwissen der Mittelstufe zu verstehen sind, und lädt Sie dabei zum Mitmachen ein. Bei der Lektüre des Buches werden Sie Ihre Kreativität schulen und sich universelle Prinzipien der Wissenschaft Mathematik aneignen, die weit über die gestellten Aufgaben hinausreichen und Ihnen den Weg zur höheren Mathematik ebnen. Sie lernen, selbständig mathematische Probleme zu lösen, den Sinn von Beweisen zu verstehen und selbst Beweise zu finden.

Das Buch basiert auf einer einsemestrigen Vorlesung, die der Autor an der Universität Oldenburg mit großem Erfolg gehalten hat. Es eignet sich zum Selbststudium, als Grundlage für einführende Lehrveranstaltungen im Mathematikstudium und für problemlöseorientierten Unterricht in der Schule.

Die 2. Auflage enthält zahlreiche neue Aufgaben, und der textual content wurde noch einmal überarbeitet.

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Extra info for Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik

Example text

N − 1} genau einmal vorkommt. Im formalen Beweis steckt dies in der Aussage, dass u bijektiv ist. ❏ Um im formalen Beweis die Bijektivit¨at von u zu zeigen, kann man auch so vorgehen, dass man zeigt, dass u injektiv und ¨ eine Erkl¨arung dieser Begriffe. surjektiv ist. Siehe Anhang B fur 38 2 Die Idee der Rekursion Dies wurde im informalen Beweis an der mit (*) gekennzeich¨ neten Stelle in Worten durchgefuhrt: Injektiv: Wenn A, A ∈ Un sind mit A = A , so ist auch u( A) = u ( A ). ¨ jedes B ∈ Tn−1 gibt es ein A ∈ Un mit u( A) = B.

A100 zu Die Formel fur ¨ ¨ berechnen, mussten wir 99 Additionen durchfuhren. Daher fassen ¨ an zusammenfassen, mit Hilfe wir im zweiten Schritt die Formel fur 7 8 ¨ ¨ die Berechnung von 1 + · · · + n =: s: des beruhmten Tricks fur 1 n ( n + 1) + + + 2 ( n − 1) ( n + 1) + + + ... ... + + + ( n − 1) 2 ( n + 1) + + + n 1 ( n + 1) = = = s s 2s Wie oft tritt hier n + 1 auf? Die erste Zeile zeigt, dass es n Male sind. Also n(n + 1) = 2s, also 1+2+···+n = n ( n + 1) . 2) ¨ Schreiben wir die Losung wieder geordnet auf.

Tk · Tn − k +1 ..

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